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黎明
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4 分钟
三角函数及常用微积分公式
2026-06-21
高等数学
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三角函数
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反三角函数
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导数
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积分

本文主要梳理三角函数关系图、导数公式与积分公式。

微积分公式的记忆核心在于：三角函数公式本质上都源于几个最基本的关系，理解了它们之间的定义与推导脉络，就不需要死记硬背所有公式。

Image

1. 六个基本三角函数的定义#

三角函数的定义最初建立在直角三角形中。

设直角三角形的一个锐角为 xx，定义三条边：

对边,邻边,斜边\text{对边},\quad \text{邻边},\quad \text{斜边}
  • 对边：角 xx 正对着的直角边。
  • 邻边：靠着角 xx 的直角边。
  • 斜边：直角三角形中最长的斜边。
直角三角形

基于这三条边，定义六个基本三角函数：

1.1 正弦 sin⁡x\sin x#

sin⁡x=对边斜边\sin x=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}

即角 xx 的对边与斜边的比值。

正弦

例如：

sin⁡30∘=12\sin 30^\circ=\frac{1}{2}

1.2 余弦 cos⁡x\cos x#

cos⁡x=邻边斜边\cos x=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}

即角 xx 的邻边与斜边的比值。

余弦

例如：

cos⁡60∘=12\cos 60^\circ=\frac{1}{2}

1.3 正切 tan⁡x\tan x#

tan⁡x=对边邻边\tan x=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}

也可以用正弦和余弦表示：

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}正切

当 cos⁡x=0\cos x=0（即 x=π2+kπ, k∈Zx = \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\, k\in\mathbb{Z}）时，tan⁡x\tan x 没有定义。

1.4 余切 cot⁡x\cot x#

cot⁡x=邻边对边\cot x=\frac{\text{邻边}}{\text{对边}}

也可以用余弦和正弦表示：

cot⁡x=cos⁡xsin⁡x=1tan⁡x\cot x=\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}余切

当 sin⁡x=0\sin x=0（即 x=kπ, k∈Zx = k\pi,\, k\in\mathbb{Z}）时，cot⁡x\cot x 没有定义。

1.5 正割 sec⁡x\sec x#

sec⁡x=斜边邻边=1cos⁡x\sec x=\frac{\text{斜边}}{\text{邻边}} = \frac{1}{\cos x}

正割是余弦的倒数。当 cos⁡x=0\cos x=0 时，sec⁡x\sec x 没有定义。

正割

1.6 余割 csc⁡x\csc x#

csc⁡x=斜边对边=1sin⁡x\csc x=\frac{\text{斜边}}{\text{对边}} = \frac{1}{\sin x}

余割是正弦的倒数。当 sin⁡x=0\sin x=0 时，csc⁡x\csc x 没有定义。

余割

2. 三角函数之间的关系与平方恒等式#

这六个函数满足紧密的乘积、商数和平方关系。

倒数关系#

sin⁡x⋅csc⁡x=1\sin x \cdot \csc x=1cos⁡x⋅sec⁡x=1\cos x \cdot \sec x=1tan⁡x⋅cot⁡x=1\tan x \cdot \cot x=1

三个核心平方关系#

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1

这是最基本的三角平方和公式。其余两个平方关系可以通过它直接推导得出：

将公式两边同时除以 cos⁡2x\cos^2 x，得到：

tan⁡2x+1=sec⁡2x\tan^2 x+1=\sec^2 x

将公式两边同时除以 sin⁡2x\sin^2 x，得到：

1+cot⁡2x=csc⁡2x1+\cot^2 x=\csc^2 x

3. 反三角函数的定义与性质#

反三角函数是三角函数的逆运算，本质是“通过三角函数值反过来求角度”。

3.1 反正弦 arcsin⁡x\arcsin x#

y=arcsin⁡x  ⟺  sin⁡y=xy=\arcsin x \iff \sin y=x

表示正弦值等于 xx 的角。

  • 定义域：[−1,1][-1, 1]
  • 值域：[−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]

例如：

arcsin⁡12=π6(因为 sin⁡π6=12)\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6} \quad \left(\text{因为 } \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\right)

3.2 反余弦 arccos⁡x\arccos x#

y=arccos⁡x  ⟺  cos⁡y=xy=\arccos x \iff \cos y=x

表示余弦值等于 xx 的角。

  • 定义域：[−1,1][-1, 1]
  • 值域：[0,π][0, \pi]

例如：

arccos⁡12=π3(因为 cos⁡π3=12)\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi}{3} \quad \left(\text{因为 } \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\right)

3.3 反正切 arctan⁡x\arctan x#

y=arctan⁡x  ⟺  tan⁡y=xy=\arctan x \iff \tan y=x

表示正切值等于 xx 的角。

  • 定义域：R\mathbb{R}
  • 值域：(−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)

注意：因为 tan⁡(±π2)\tan\left(\pm\dfrac{\pi}{2}\right) 不存在，所以值域不包含端点。

例如：

arctan⁡1=π4(因为 tan⁡π4=1)\arctan 1=\frac{\pi}{4} \quad \left(\text{因为 } \tan \frac{\pi}{4}=1\right)

3.4 反余切 arccot⁡x\operatorname{arccot} x#

y=arccot⁡x  ⟺  cot⁡y=xy=\operatorname{arccot} x \iff \cot y=x

表示余切值等于 xx 的角。

  • 定义域：R\mathbb{R}
  • 值域：(0,π)(0, \pi)

例如：

arccot⁡1=π4(因为 cot⁡π4=1)\operatorname{arccot} 1=\frac{\pi}{4} \quad \left(\text{因为 } \cot \frac{\pi}{4}=1\right)

3.5 反正割 arcsec⁡x\operatorname{arcsec} x#

y=arcsec⁡x  ⟺  sec⁡y=xy=\operatorname{arcsec} x \iff \sec y=x

由于 sec⁡y=1cos⁡y\sec y = \dfrac{1}{\cos y}，所以可转化为反余弦计算：

arcsec⁡x=arccos⁡1x\operatorname{arcsec} x=\arccos\frac{1}{x}
  • 定义域：(−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)
  • 值域：[0,π2)∪(π2,π]\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]

3.6 反余割 arccsc⁡x\operatorname{arccsc} x#

y=arccsc⁡x  ⟺  csc⁡y=xy=\operatorname{arccsc} x \iff \csc y=x

由于 csc⁡y=1sin⁡y\csc y = \dfrac{1}{\sin y}，所以可转化为反正弦计算：

arccsc⁡x=arcsin⁡1x\operatorname{arccsc} x=\arcsin\frac{1}{x}
  • 定义域：(−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)
  • 值域：[−π2,0)∪(0,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right]

4. 三角函数与反三角函数的联系与区别#

三角函数与反三角函数互为逆映射：

  • 三角函数：将一个角度映射为该角度对应的直角三角形边长比值。

    角度⟶比值\text{角度} \longrightarrow \text{比值}

    如：sin⁡π6=12\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}

  • 反三角函数：将一个边长比值映射为对应的角度。

    比值⟶角度\text{比值} \longrightarrow \text{角度}

    如：arcsin⁡12=π6\arcsin \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}

经典对照示例#

  • sin⁡π6=12  ⟺  arcsin⁡12=π6\sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2} \iff \arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}
  • cos⁡π3=12  ⟺  arccos⁡12=π3\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} \iff \arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}
  • tan⁡π4=1  ⟺  arctan⁡1=π4\tan \dfrac{\pi}{4}=1 \iff \arctan 1=\frac{\pi}{4}
  • sec⁡π3=2  ⟺  arcsec⁡2=π3\sec \dfrac{\pi}{3}=2 \iff \operatorname{arcsec} 2=\frac{\pi}{3}
  • csc⁡π6=2  ⟺  arccsc⁡2=π6\csc \dfrac{\pi}{6}=2 \iff \operatorname{arccsc} 2=\frac{\pi}{6}

5. 易混淆点：sin⁡−1x\sin^{-1} x 不等同于倒数#

在很多国外教材和计算器上，反三角函数也常写成指数为 −1-1 的形式：

sin⁡−1x=arcsin⁡x\sin^{-1} x = \arcsin xcos⁡−1x=arccos⁡x\cos^{-1} x = \arccos xtan⁡−1x=arctan⁡x\tan^{-1} x = \arctan x

注意：这里的 −1-1 表示反函数，绝不是倒数！

它们与真正的倒数之间满足：

sin⁡−1x=arcsin⁡x≠1sin⁡x=csc⁡x\sin^{-1} x = \arcsin x \ne \frac{1}{\sin x} = \csc xcos⁡−1x=arccos⁡x≠1cos⁡x=sec⁡x\cos^{-1} x = \arccos x \ne \frac{1}{\cos x} = \sec xtan⁡−1x=arctan⁡x≠1tan⁡x=cot⁡x\tan^{-1} x = \arctan x \ne \frac{1}{\tan x} = \cot x

这在初学微积分时非常容易混淆，务必区分。

6. 三角函数求导公式#

高等数学中六个基本三角函数的求导公式如下：

(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x(tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)'=\sec^2 x(cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)'=-\csc^2 x(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)'=\sec x\tan x(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\csc x)'=-\csc x\cot x

记忆规律#

可以利用余角前缀来方便记忆：

凡是以“co”开头的三角函数（余弦 cos⁡x\cos x、余切 cot⁡x\cot x、余割 csc⁡x\csc x），求导结果一定带负号。

7. 基本积分公式#

积分与求导互为逆运算。根据三角函数导数公式，可以直接得出对应的直接积分公式：

因为 (tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)'=\sec^2 x，所以：

∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C\int \sec^2 x \,dx=\tan x+C

因为 (sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)'=\sec x\tan x，所以：

∫sec⁡xtan⁡x dx=sec⁡x+C\int \sec x\tan x \,dx=\sec x+C

因为 (cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)'=-\csc^2 x，所以：

∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+C\int \csc^2 x \,dx=-\cot x+C

因为 (csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\csc x)'=-\csc x\cot x，所以：

∫csc⁡xcot⁡x dx=−csc⁡x+C\int \csc x\cot x \,dx=-\csc x+C

这四个积分建议与对应的导数公式成对对照记忆。

8. 常见三角函数的积分推导#

除了上述直接积分，以下四个基本三角函数的积分也非常重要：

正切函数的积分#

∫tan⁡x dx=∫sin⁡xcos⁡x dx\int \tan x \,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \,dx

令 u=cos⁡xu=\cos x，则有 du=−sin⁡x dxdu=-\sin x \,dx，代入可得：

∫tan⁡x dx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int \tan x \,dx = -\ln|\cos x|+C

因为 sec⁡x=1cos⁡x\sec x = \dfrac{1}{\cos x}，根据对数性质可化为：

∫tan⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x∣+C\int \tan x \,dx = \ln|\sec x|+C

余切函数的积分#

∫cot⁡x dx=∫cos⁡xsin⁡x dx\int \cot x \,dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} \,dx

令 u=sin⁡xu=\sin x，则有 du=cos⁡x dxdu=\cos x \,dx，代入可得：

∫cot⁡x dx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\int \cot x \,dx=\ln|\sin x|+C

利用倒数关系，它也可以写成等价形式：

∫cot⁡x dx=−ln⁡∣csc⁡x∣+C\int \cot x \,dx=-\ln|\csc x|+C

正割与余割的积分#

对于正割函数，其积分为高数中非常基础的公式，建议直接熟记结论：

∫sec⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec x \,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C

余割函数的积分结论为：

∫csc⁡x dx=−ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+C\int \csc x \,dx=-\ln|\csc x+\cot x|+C

也可以写成等价形式：

∫csc⁡x dx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\int \csc x \,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C

9. 三次方积分公式#

在分部积分中，经常遇到三次方形式的积分，可以直接使用以下结论：

∫sec⁡3x dx=12[sec⁡xtan⁡x+ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣]+C\int \sec^3 x \,dx = \frac{1}{2} \left[ \sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x| \right]+C∫csc⁡3x dx=−12[csc⁡xcot⁡x+ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣]+C\int \csc^3 x \,dx = -\frac{1}{2} \left[ \csc x\cot x+\ln|\csc x+\cot x| \right]+C

记忆规律：观察可知，sec⁡3x\sec^3 x 与 csc⁡3x\csc^3 x 的积分结果中，均包含了其对应的一阶积分项（即 ∫sec⁡x dx\int \sec x \,dx and ∫csc⁡x dx\int \csc x \,dx 的结果部分）。

10. 反三角函数相关积分#

在遇到含有二次根式或平方和的积分时，通常对应反三角函数或对数形式：

第一类：含有 a2+x2a^2+x^2 的积分#

∫dxa2+x2=1aarctan⁡xa+C\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C

对应求导公式 (arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}。

第二类：含有 a2−x2\sqrt{a^2-x^2} 的积分#

∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a}+C

对应求导公式 (arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}。

第三类：含有 x2±a2\sqrt{x^2\pm a^2} 的积分#

对于此类形式，积分结果通常为对数形式：

∫dxx2+a2=ln⁡∣x+x2+a2∣+C\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C∫dxx2−a2=ln⁡∣x+x2−a2∣+C\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C

可以合并写为：

∫dxx2±a2=ln⁡∣x+x2±a2∣+C\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}} = \ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C

11. 三角函数与反三角函数汇总表#

三角函数定义及关系#

名称符号直角三角形边角关系定义恒等表示关系
正弦sin⁡x\sin x对边斜边\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}sin⁡x=1csc⁡x\sin x = \dfrac{1}{\csc x}
余弦cos⁡x\cos x邻边斜边\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}cos⁡x=1sec⁡x\cos x = \dfrac{1}{\sec x}
正切tan⁡x\tan x对边邻边\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=1cot⁡x\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{1}{\cot x}
余切cot⁡x\cot x邻边对边\dfrac{\text{邻边}}{\text{对边}}cot⁡x=cos⁡xsin⁡x=1tan⁡x\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{1}{\tan x}
正割sec⁡x\sec x斜边邻边\dfrac{\text{斜边}}{\text{邻边}}sec⁡x=1cos⁡x\sec x = \dfrac{1}{\cos x}
余割csc⁡x\csc x斜边对边\dfrac{\text{斜边}}{\text{对边}}csc⁡x=1sin⁡x\csc x = \dfrac{1}{\sin x}

反三角函数基础性质#

名称符号含义描述定义域值域
反正弦arcsin⁡x\arcsin x正弦值为 xx 的角[−1,1][-1, 1][−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]
反余弦arccos⁡x\arccos x余弦值为 xx 的角[−1,1][-1, 1][0,π][0, \pi]
反正切arctan⁡x\arctan x正切值为 xx 的角R\mathbb{R}(−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)
反余切arccot⁡x\operatorname{arccot} x余切值为 xx 的角R\mathbb{R}(0,π)(0, \pi)
反正割arcsec⁡x\operatorname{arcsec} x正割值为 xx 的角(−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)[0,π2)∪(π2,π]\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]
反余割arccsc⁡x\operatorname{arccsc} x余割值为 xx 的角(−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)[−π2,0)∪(0,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right]

其中高数积分中出现最频繁的是反正弦 arcsin⁡x\arcsin x 与 反正切 arctan⁡x\arctan x：

∫dx1−x2=arcsin⁡x+C\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C∫dx1+x2=arctan⁡x+C\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C

12. 公式记忆优先级总结#

为了高效复习，可以将上述公式分为三档进行记忆：

第一档：基础恒等式与求导（必须熟练）#

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1tan⁡x=sin⁡xcos⁡x,sec⁡x=1cos⁡x,csc⁡x=1sin⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad \sec x=\frac{1}{\cos x},\quad \csc x=\frac{1}{\sin x}(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x(tan⁡x)′=sec⁡2x,(cot⁡x)′=−csc⁡2x(\tan x)'=\sec^2 x,\quad (\cot x)'=-\csc^2 x

第二档：高频积分公式（直接记忆）#

∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C,∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+C\int \sec^2 x \,dx=\tan x+C,\quad \int \csc^2 x \,dx=-\cot x+C∫tan⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x∣+C,∫cot⁡x dx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\int \tan x \,dx=\ln|\sec x|+C,\quad \int \cot x \,dx=\ln|\sin x|+C∫sec⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec x \,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C∫csc⁡x dx=−ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+C\int \csc x \,dx=-\ln|\csc x+\cot x|+C

第三档：结构特征联想（看到形式想结果）#

  • a2+x2  ⟹  a^2+x^2 \implies 联想到 arctan⁡\arctan
  • a2−x2  ⟹  \sqrt{a^2-x^2} \implies 联想到 arcsin⁡\arcsin
  • x2±a2  ⟹  \sqrt{x^2\pm a^2} \implies 联想到 ln⁡\ln

注意：以上所有三角函数公式默认 xx 采用弧度制，而非角度制。

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三角函数及常用微积分公式
https://dawn114514.site/posts/高等数学/三角函数及常用微积分公式/
作者
黎明
发布于
2026-06-21
许可协议
MIT

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