わたしの部屋

2.1 两点分布 / 伯努利分布#

若随机变量 $X$ 只能取两个值 $0$ 和 $1$，且其发生的概率分别为：

则称 $X$ 服从两点分布，也称为伯努利分布。

记作：

其概率质量函数（分布律）可以统一表示为：

数学期望与方差分别为：

2.2 二项分布#

若进行 $n$ 次独立重复的伯努利试验，每次试验中事件成功的概率均为 $p$。令随机变量 $X$ 表示 $n$ 次试验中成功的次数，则 $X$ 服从二项分布。

记作：

其分布律公式为：

数学期望与方差分别为：

计算示例#

假设某射击运动员每次射击的命中率均为 0.8。现独立射击 5 次，令随机变量 $X$ 表示命中的次数，则 $X \sim B(5, 0.8)$。

其恰好命中 3 次的概率计算为：

$$P(X = 3) = C_5^3 (0.8)^3 (0.2)^2 = 10 \cdot 0.512 \cdot 0.04 = 0.2048$$

简明规律：

$$\boxed{\text{二项分布描述的是 } n \text{ 次独立重复试验中成功发生的总次数}}$$

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2.3 几何分布#

若每次试验成功的概率为 $p$，在独立重复试验中，令随机变量 $X$ 表示为了获得首次成功所需要的累计试验次数，则 $X$ 服从几何分布。

其分布律公式为：

数学期望与方差分别为：

2.4 超几何分布#

超几何分布用于描述在不放回抽样条件下的概率问题。

设总体共包含 $N$ 个个体，其中有 $M$ 个属于成功类，剩下的 $N - M$ 个属于失败类。现从中不放回地随机抽取 $n$ 个个体，令随机变量 $X$ 表示抽出的个体中属于成功类的个数，则 $X$ 服从超几何分布。

其分布律公式为：

其取值的合理范围为 $\max(0, n - N + M) \le k \le \min(n, M)$。

数学期望与方差为：

2.5 泊松分布#

如果随机变量 $X$ 表示在某段特定的时间、空间或区域内，某随机事件发生的次数，且该事件平均发生的次数为 $\lambda$，则 $X$ 服从泊松分布。

记作：

其分布律公式为：

数学期望与方差满足特征：

计算示例#

某客服热线中心平均每分钟接到 3 个来电，求其在一分钟内恰好接到 2 个来电的概率。

此随机发生次数服从泊松分布 $X \sim P(3)$：

$$P(X = 2) = \frac{3^2}{2!}e^{-3} = 4.5 e^{-3}$$

简明规律：

$$\boxed{\text{泊松分布描述的是在连续的单位时间或区域内，稀有随机事件发生的频数}}$$

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3.1 均匀分布#

若随机变量 $X$ 在实数区间 $[a, b]$ 上取值，且落在该区间内任意等长度子区间内的概率均相等，则称 $X$ 在区间 $[a, b]$ 上服从均匀分布。

记作：

其概率密度函数为：

累积分布函数为：

数学期望与方差分别为：

计算示例#

已知公交车每 10 分钟发车一班，某乘客随机到达车站，其等待时间服从均匀分布 $X \sim U(0, 10)$。求该乘客等待时间不超过 3 分钟的概率。

$$P(X \le 3) = \frac{3 - 0}{10 - 0} = 0.3$$

简明规律：

$$\boxed{\text{均匀分布描述的是在确定区间内，取值机会完全均等的连续型分布}}$$

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3.2 指数分布#

指数分布常用于描述设备寿命或随机服务系统中的等待时间。

如果随机变量服从指数分布：

其概率密度函数为：

其累积分布函数为：

在实际计算中，我们常用其右尾生存概率公式：

数学期望与方差分别为：

• 这里的参数 $\lambda$ 代表单位时间内事件发生的平均速率。

计算示例#

某精密仪器平均使用寿命为 1000 小时。假设其寿命服从指数分布，求该仪器使用寿命超过 1500 小时的概率。

因为平均寿命 $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = 1000$，解得率参数 $\lambda = \dfrac{1}{1000}$。

仪器寿命超过 1500 小时的概率为：

$$P(X > 1500) = e^{-\frac{1500}{1000}} = e^{-1.5}$$

简明规律：

$$\boxed{\text{指数分布描述的是无记忆性的等待时间或使用寿命}}$$

3.3 正态分布#

正态分布是概率论与数理统计中应用最为广泛、最重要的连续型随机变量分布。

如果随机变量服从正态分布：

其概率密度函数为经典的钟形曲线：

数学期望与方差分别为：

典型适用场景#

• 成年人群的身高与体重数据；
• 某次标准化考试中考生的考试成绩；
• 物理测量过程中不可避免的测量误差；
• 机械加工中零件的尺寸误差；
• 受到自然界大量独立、微小的随机因素共同叠加作用所产生的数据分布。

简明规律：

$$\boxed{\text{正态分布描述的是受大量微小随机独立因素共同作用后的连续分布状态}}$$

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3.4 标准正态分布与标准化法#

当正态分布满足均值 $\mu = 0$，方差 $\sigma^2 = 1$ 时，特称为标准正态分布。

通常记为：

其概率密度函数与累积分布函数分别记为：

4.1 卡方分布#

设随机变量 $Z_1, Z_2, \dots, Z_n$ 相互独立，且均服从标准正态分布 $Z_i \sim N(0, 1)$。

则它们平方和所构成的新随机变量：

服从自由度为 $n$ 的卡方分布，记作：

其数学期望与方差分别为：

核心应用定理#

在正态总体样本中，样本方差 $S^2$ 与总体方差 $\sigma^2$ 之间满足如下结论：

$$\boxed{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)}$$

这为估计和检验总体方差提供了理论依据。

简明规律：

$$\boxed{\chi^2 \text{ 分布主要用于解决与正态总体方差相关的估算与检验问题}}$$

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4.2 学生分布（$t$ 分布）#

设随机变量 $Z \sim N(0, 1)$，随机变量 $U \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 与 $U$ 相互独立。

则新随机变量：

服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，记作：

核心应用定理#

当正态总体方差 $\sigma^2$ 未知时，样本均值与样本标准差满足如下结论：

$$\boxed{\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n - 1)}$$

这为单总体及双总体的均值推断奠定了基础。

简明规律：

$$\boxed{t \text{ 分布主要用于在方差未知的前提下，处理与均值相关的估算与检验}}$$

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4.3 $F$ 分布#

设随机变量 $U \sim \chi^2(m)$，随机变量 $V \sim \chi^2(n)$，且 $U$ 与 $V$ 相互独立。

则这两个卡方统计量除以各自自由度之后的比值：

服从第一自由度为 $m$，第二自由度为 $n$ 的 $F$ 分布，记作：

核心应用定理#

从两个独立正态总体中抽样，其样本方差之比满足结论：

$$\boxed{\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1)}$$

这可直接用于推断两个总体方差是否相等。

简明规律：

$$\boxed{F \text{ 分布主要用于比较两个正态总体的方差大小关系}}$$

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1. 两点分布与二项分布#

两点分布是二项分布当试验次数 $n = 1$ 时的特例，即二项分布可以看作是 $n$ 个独立同分布的两点分布随机变量之和。

2. 二项分布与泊松分布的极限（泊松定理）#

当二项分布中试验次数 $n$ 非常大（如 $n \ge 100$），且单次成功概率 $p$ 非常小（如 $p \le 0.1$），而乘积 $\lambda = np$ 保持稳定时，二项分布可近似为泊松分布：

这常被用于计算稀有突发事件的概率。

3. 二项分布的正态近似（棣莫弗-拉普拉斯定理）#

当二项分布的 $n$ 较大且 $np$ 与 $n(1-p)$ 均较大（通常大于 5）时，二项分布可近似为正态分布：

在实际近似计算中，为提高精确度，通常需要对区间进行连续性校正。例如，将 $P(X \le k)$ 校正为 $P(X < k + 0.5)$ 后再进行标准化计算。

4. 泊松分布的正态近似#

当泊松分布的均值参数 $\lambda$ 较大（如 $\lambda \ge 20$）时，泊松分布也可以近似为正态分布：

5. 抽样分布的起源#

三大抽样分布 $\chi^2$ 分布、$t$ 分布与 $F$ 分布，其数学构造的源头全部来自于独立的标准正态分布变量 $N(0, 1)$。

8.1 二项分布 与 超几何分布#

• 二项分布：每次抽样是有放回的（或者总体无穷大），每次抽取时摸出目标物的概率 $p$ 保持恒定不变。
• 超几何分布：每次抽样是不放回的，因为每一次抽走个体会影响下一次摸出目标物的概率。
• 联系：当总体容量 $N$ 趋于无穷大时，不放回抽样和放回抽样差别极小，超几何分布在极限下收敛于二项分布。

8.2 二项分布 与 几何分布#

• 二项分布：试验的次数是固定的（即常数 $n$），随机变量是“成功的次数”。
• 几何分布：试验的次数是随机变量（即试验一直做到成功为止），随机变量是“首次成功时的试验次数”。

8.3 泊松分布 与 指数分布#

• 泊松分布：属于离散型随机变量，数的是在单位时间内事件发生的“次数”（如一小时内通过路口的车辆数）。
• 指数分布：属于连续型随机变量，测量的是两次随机事件发生之间的“时间长短”（如等待下一辆车通过路口的时间）。

8.4 正态分布 与 $t$ 分布#

• 正态分布：在总体方差 $\sigma^2$ 已知，或样本量较大（利用中心极限定理）时使用。
• $t$ 分布：仅在总体服从正态分布，且总体方差 $\sigma^2$ 未知的小样本推断中使用。